von Hubert Becker
Ersatzteile werden als ein wichtiger Faktor für die Effektivität eines Unterstützungssystems erachtet. Die Bestimmung und die Unterhaltung eines angemessenen Vorrats an Ersatzteilen ist entscheidend für die Verfügbarkeit eines technischen Systems.
Ein Effektivitätsmaß für ein Lagerhaltungssystem ist die Wartezeit auf Ersatzteile. Im allgemeinen wird die mittlere oder durchschnittliche Wartezeit als Effektivitätskriterium angewand. Um jedoch einen festen Wert zu garantierten und um das Risiko abzuschätzen, müssen die maximale Wartezeit und die Wartezeitverteilung bekannt sein.
Die durchschnittliche Anzahl von Anforderungen innerhalb einer gegebenen Zeit T ist gleich dem Ausdruck lT und kann durch die nachfolgende Formel errechnet werden:
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(1) |
| NSys : | Anzahl Systeme | |
| n : | Nutzungsrate (z. B. Flugstunden pro System und Kalenderstunde) | |
| QPS : | Menge je System | |
| rItem : | Austauschrate | |
| MTBA : | Mean Time Between Arisings [h] | |
| T : | Instandsetzungskreislaufzeit (inkl. Transportzeiten) [h] |
Der durchschnittliche oder mittlere Wartezeit (MWT) ist direkt proportional zum Erwartungswert der zurückgestellten Anforderungen (Expected Backorders - EBO). Zurückgestellte Anforderungen sind Nachfragen, die nicht sofort erfüllt werden können. Diese Nachfragen werden erfüllt, wenn ein Ersatzteil aus die Reparaturkreislauf zurückkommt. Ein Beispiel Lagerhaltungssystem mit zurückgestellten Anforderungen wird in Abb. 1 gezeigt.
Innerhalb eines repräsentativen Zeitabschnitts T treten vier Nachfragen nach jeweils einem Ersatzteils auf. Zu den Zeitpunkten D1 bis D4 wird jeweils ein Ersatzteil benötigt, zu den Zeitpunkten S1 bis S4 läuft je ein Teil aus dem Instandsetzungskreislauf zurück. Hieraus folgend ist in den Zeiten t1, t7 und t9 der Lagerbestand jeweils 1, in t8 sind 2 Ersatzteile auf Lager und in den übrigen Zeiten t2 bis t6 ist kein Ersatzteil vorrätig.
Fig. 1: Beispiel für ein Lagerhaltungssystem mit unerfüllten Anforderungen
Die zum Zeitpunkt D2 entstehende Ersatzteilanforderung wird aufgeschoben und kann erst nach Eintreffen eines Teiles zum Zeitpunkt S1 befriedigt werden. Die Anforderung zum Zeitpunkt D3 kann ebenfalls nicht unmittelbar sondern erst zum Zeitpunkt S2 erfüllt werden. Die absolute Anzahl der zurückgestellten Anforderungen in der Zeitperiode T im vorliegenden Beispiel (Abb. 1) ist zwei. Das Maß "Expected Backorders" hingegen ist ein über die Zeit gewogener Mittelwert innerhalb der Zeitperiode T. Es kann folgendermaßen ermittelt werden:
| EBO = [1 × (t3+t4) + 1 × (t4+t5)]/T = (t3+ 2 × t4+t5)/T | (2) |
Die durchschnittliche Anzahl der zurückgestellten Anforderungen kann auch mit Hilfe einer Markov-Kette mit folgenden Zuständen beschrieben werden:
S, S-1, S-2, S-k ,...,S-(S-1), S-S, S-(S+1), -2,..., -¥
In den Zuständen S bis S-(S-1) können alle Anforderungen erfüllt werden. Ab Zustand S-(S+1) können zunächst eine Anforderung, dann zwei usw. nicht unmittelbar erfüllt werden. Die Expected Backorders können demnach berechnet werden als Summe aller Wahrscheinlichkeiten w(k) für die Zustände k ³ S+1, multipliziert mit dem Ausdruck (k-S); die allgemeine Gleichung lautet:
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(3) |
Unter der Annahme einer Poissonverteilung für wk(k
|lT) lautet die Gleichung zur Berechnung der Expected
Backorders:
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(4) |
Für praktische Berechnungen ist die vorstehende Gleichung wegen der Summation bis Unendlich wenig geeignet. Entsprechend der Ableitung in [1] kommt man zu folgenden Ausdruck, mit dem die durchschnittliche Anzahl der zurückgestellten Anforderungen maschinell einfacher bei endlicher Summation bestimmt werden kann:
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(5) |
Die mittlere Wartezeit MWT kann aus der durchschnittlichen Anzahl der
zurückgestellten Anforderungen EBO (Expected Backorders) berechnet werden,
indem durch den Erwartungswert der Anforderungen l
geteilt wird:
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(6) |
In die mittlere Wartezeit gehen alle Ersatzteilanforderungen ein, auch diejenigen, bei denen aufgrund eines vorhandenen Lagerbestandes keine Wartezeiten entstehen. Im Fall von nicht unmittelbar zu erfüllenden Anforderungen treten entsprechend längere Wartezeiten auf.
In Abb. 2 ist das Verhältnis der mittleren Wartezeit auf Austauschteile MWT zur Kreislaufzeit T in Abhängigkeit vom Erwartungswert lT und der Anzahl S der Austauschteile aufgetragen. Die mittlere Wartezeit kann somit durch Multiplikation mit der Kreislaufzeit berechnet werden.
Abb. 2 : Diagramm zur Ermittlung der mittleren Wartezeit bei
poissonverteiltem Ausfallverhalten [2]
Wenn keinerlei Kreislaufreserven vorhanden sind, ist definitionsgemäß das Verhältnis Wartezeit zu Kreislaufzeit stets eins, d. h. die Wartezeit ist gleich der Kreislaufzeit. Weiterhin ist ersichtlich, daß bei einer höheren Kreislaufzeit mehr Kreislaufreserven benötigt werden, um einen gleichen Absolutbetrag für die Wartezeit zu erreichen.
In Abschnitt 2 wurde die Gleichung zur Ermittlung der mittleren Wartezeit hergeleitet. Es wurde auch aufgezeigt, daß bei Nichtvorhandensein von Austauschteilen die maximale Wartezeit gleich der Kreislaufzeit ist. Die Wahrscheinlichkeit, daß die Wartezeit auf Austauschteile gleich Null ist, kann gleichgesetzt werden mit der Wahrscheinlichkeit, daß mindestens ein Teil auf Lager ist. Die Wahrscheinlichkeit wird auch Ersatzteilverfügbarkeit oder Erfüllungsrtate genannt. Im englischen Sprachraum ist dies die Fill Rate (FR) bzw. Demand Satisfaction Rate.
Unter Annahme einer Poissonverteilung lautet die Gleichung für
die Ersatzteilverfügbarkeit:
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(7) |
mit
| T : l : S : |
Kreislaufzeit (einschl. Transporzeiten) [hours] Anforderungsrate per Kalenderstunde Anzahl Kreislaufreserven |
In Abb. 3 ist der Verlauf der Erfüllungsrate in Abhängigkeit vom Erwartungswert lT und der Anzahl der Kreislaufreserven S dargestellt.
Abb. 3: Diagramm zur Ermittlung der Erfüllungsrate bei poissonverteiltem
Ausfallverhalten [2]
Unter Annahme einer deterministischen (konstanten) Kreislaufzeit T und
poisson-verteilten Anforderungen lautet die Gleichung für die kumulative
Wartezeitverteilung wie folgt [3]:
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(8) |
Abbildung 4 zeigt Wartezeitverteilungen in Abhängigkeit des Verhältnisses WT/T für unterschiedliche
Anforderungsraten l und
Anzahl S an Austauschteilen.
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Abb. 4: Verteilung von Wartezeiten
Die kumulative Wahrscheinlichkeit für das Verhältnis WT/T=0 ist per Definition gleich der Ersatzteilverfügbarkeit. Beim Verhältnis WT/T=1 tritt die maximale Wartezeit auf. Zwischen diesen beiden Punkten ist die Wartezeitverteilung ein Funktion der Anforderungsrate l und der Anzahl S an Austauschteilen.
Unter der Annahme niedriger Anforderungsraten (0 <l £ 3) und einem höheren Lagerbestand S ist die Wartezeitverteilung näherungsweise linear. Bei höheren Anforderungsraten (l > 3) und einem höheren Lagerbestand S ist die Verteilungskurve konkav, bei geringerem Lagerbestand S konvex.
Um einen akzeptablen Versorgungsgrad zu gewährleisten, muß eine Ersatzteilverfügbarkeit (WT=0) von mindestens 0.8, besser 0.85 erreicht werden. Wie Abbildung 4 zeigt, kann die Wartezeitverteilung näherungsweise durch lineare Interpolation ermittelt werden. Das Ergebnis liegt in diesem Fall auf der sicheren Seite.
[1] Hadley, G.; Whitin, T. M.: Analysis
of Inventory Systems. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N. J., 1963
[2] Becker, H.: Methoden der Ersatzteilquantifizierung
- Teil I: Austauschteile. MBB-FB210-S-STY-0156-A, Ottobrunn, 1990.
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